1、过桥问题（1）1.一列火车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列火车长140米，火车每分钟行400米，这列火车通过长江大桥需要多少分钟？分析：这道题求的是通过时间。

2、根据数量关系式，我们知道要想求通过时间，就要知道路程和速度。

3、路程是用桥长加上车长。

(资料图片仅供参考)

4、火车的速度是已知条件。

5、总路程：（米）通过时间：（分钟）答：这列火车通过长江大桥需要17.1分钟。

6、2.一列火车长200米，全车通过长700米的桥需要30秒钟，这列火车每秒行多少米？分析与解答：这是一道求车速的过桥问题。

7、我们知道，要想求车速，我们就要知道路程和通过时间这两个条件。

8、可以用已知条件桥长和车长求出路程，通过时间也是已知条件，所以车速可以很方便求出。

9、总路程：（米）火车速度：（米）答：这列火车每秒行30米。

10、3.一列火车长240米，这列火车每秒行15米，从车头进山洞到全车出山洞共用20秒，山洞长多少米？分析与解答：火车过山洞和火车过桥的思路是一样的。

11、火车头进山洞就相当于火车头上桥；全车出洞就相当于车尾下桥。

12、这道题求山洞的长度也就相当于求桥长，我们就必须知道总路程和车长，车长是已知条件，那么我们就要利用题中所给的车速和通过时间求出总路程。

13、总路程：山洞长：（米）答：这个山洞长60米。

14、和倍问题1.秦奋和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是秦奋年龄的4倍，问秦奋和妈妈各是多少岁？我们把秦奋的年龄作为1倍，“妈妈的年龄是秦奋的4倍”，这样秦奋和妈妈年龄的和就相当于秦奋年龄的5倍是40岁，也就是（4＋1）倍，也可以理解为5份是40岁，那么求1倍是多少，接着再求4倍是多少？（1）秦奋和妈妈年龄倍数和是：4＋1＝5（倍）（2）秦奋的年龄：40÷5＝8岁（3）妈妈的年龄：8×4＝32岁综合：40÷（4＋1）＝8岁8×4＝32岁为了保证此题的正确，验证（1）8＋32＝40岁（2）32÷8＝4（倍）计算结果符合条件，所以解题正确。

15、2.甲乙两架飞机同时从机场向相反方向飞行，3小时共飞行3600千米，甲的速度是乙的2倍，求它们的速度各是多少？已知两架飞机3小时共飞行3600千米，就可以求出两架飞机每小时飞行的航程，也就是两架飞机的速度和。

16、看图可知，这个速度和相当于乙飞机速度的3倍，这样就可以求出乙飞机的速度，再根据乙飞机的速度求出甲飞机的速度。

17、甲乙飞机的速度分别每小时行800千米、400千米。

18、3.弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本，哥哥给弟弟多少本后，弟弟的课外书是哥哥的2倍？思考：（1）哥哥在给弟弟课外书前后，题目中不变的数量是什么？（2）要想求哥哥给弟弟多少本课外书，需要知道什么条件？（3）如果把哥哥剩下的课外书看作1倍，那么这时（哥哥给弟弟课外书后）弟弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的几倍？思考以上几个问题的基础上，再求哥哥应该给弟弟多少本课外书。

19、根据条件需要先求出哥哥剩下多少本课外书。

20、如果我们把哥哥剩下的课外书看作1倍，那么这时弟弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的2倍，也就是兄弟俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课外书的3倍，而兄弟俩人课外书的总数始终是不变的数量。

21、（1）兄弟俩共有课外书的数量是20＋25＝45。

22、（2）哥哥给弟弟若干本课外书后，兄弟俩共有的倍数是2＋1＝3。

23、（3）哥哥剩下的课外书的本数是45÷3＝15。

24、（4）哥哥给弟弟课外书的本数是25－15＝10。

25、试着列出综合算式：4.甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，这时甲库存粮是乙库存粮的2倍，两个粮库原来各存粮多少吨？根据甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，可求出这时甲、乙两库共存粮多少吨。

26、根据“这时甲库存粮是乙库存粮的2倍”，如果这时把乙库存粮作为1倍，那么甲、乙库所存粮就相当于乙存粮的3倍。

27、于是求出这时乙库存粮多少吨，进而可求出乙库原来存粮多少吨。

28、最后就可求出甲库原来存粮多少吨。

29、甲库原存粮130吨，乙库原存粮40吨。

30、列方程组解应用题（一）1.用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身和两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好配套？依据题意可知这个题有两个未知量，一个是制盒身的铁皮张数，一个是制盒底的铁皮张数，这样就可以用两个未知数表示，要求出这两个未知数，就要从题目中找出两个等量关系，列出两个方程，组在一起，就是方程组。

31、两个等量关系是：A做盒身张数+做盒底的张数=铁皮总张数B制出的盒身数×2=制出的盒底数用86张白铁皮做盒身，64张白铁皮做盒底。

32、奇数与偶数（一）其实，在日常生活中同学们就已经接触了很多的奇数、偶数。

33、凡是能被2整除的数叫偶数，大于零的偶数又叫双数；凡是不能被2整除的数叫奇数，大于零的奇数又叫单数。

34、因为偶数是2的倍数，所以通常用这个式子来表示偶数（这里是整数）。

35、因为任何奇数除以2其余数都是1，所以通常用式子来表示奇数（这里是整数）。

36、奇数和偶数有许多性质，常用的有：性质1两个偶数的和或者差仍然是偶数。

37、例如：8+4=12，8-4=4等。

38、两个奇数的和或差也是偶数。

39、例如：9+3=12，9-3=6等。

40、奇数与偶数的和或差是奇数。

41、例如：9+4=13，9-4=5等。

42、单数个奇数的和是奇，双数个奇数的和是偶数，几个偶数的和仍是偶数。

43、性质2奇数与奇数的积是奇数。

44、偶数与整数的积是偶数。

45、性质3任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。

46、1.有5张扑克牌，画面向上。

47、小明每次翻转其中的4张，那么，他能在翻动若干次后，使5张牌的画面都向下吗？同学们可以试验一下，只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下。

48、要想使5张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次。

49、5个奇数的和是奇数，所以翻动的总张数为奇数时才能使5张牌的牌面都向下。

50、而小明每次翻动4张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数。

51、所以无论他翻动多少次，都不能使5张牌画面都向下。

52、2.甲盒中放有180个白色围棋子和181个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子，李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒；如果两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。

53、那么他拿多少后，甲盒中只剩下一个棋子，这个棋子是什么颜色的？不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子，他总会把一个棋子放入甲盒。

54、所以他每拿一次，甲盒子中的棋子数就减少一个，所以他拿180+181-1=360次后，甲盒里只剩下一个棋子。

55、如果他拿出的是两个黑子，那么甲盒中的黑子数就减少两个。

56、否则甲盒子中的黑子数不变。

57、也就是说，李平每次从甲盒子拿出的黑子数都是偶数。

58、由于181是奇数，奇数减偶数等于奇数。

59、所以，甲盒中剩下的黑子数应是奇数，而不大于1的奇数只有1，所以甲盒里剩下的一个棋子应该是黑子。

60、奥赛专题--称球问题例1有4堆外表上一样的球，每堆4个。

61、已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。

62、解：依次从第一、二、三、四堆球中，各取2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。

63、2有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。

64、解：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。

65、若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。

66、第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。

67、第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。

68、例3把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。

69、解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。

70、把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则（1）若A=B，则A、B中都是正品，再称B、C。

71、如B=C，显然D中的那个球是次品；如B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出结论。

72、如B＜C，仿照B＞C的情况也可得出结论。

73、（2）若A＞B，则C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，或B＜C（B＞C不可能，为什么？）如B=C，则次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得出结论；如B＜C，仿前也可得出结论。

74、（3）若A＜B，类似于A＞B的情况，可分析得出结论。

75、奥赛专题--抽屉原理【例1】一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日。

76、为什么？【分析】每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。

77、如果把这12个月看成12个“抽屉”，把13名同学的生日看成13只“苹果”，把13只苹果放进12个抽屉里，一定有一个抽屉里至少放2个苹果，也就是说，至少有2名同学在同一个月过生日。

78、【例2】任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。

79、这是为什么？【分析与解】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同，那么这两个自然数的差是3的倍数。

80、而任何一个自然数被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是2，根据这三种情况，可以把自然数分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。

81、我们把4个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有2个数。

82、换句话说，4个自然数分成3类，至少有两个是同一类。

83、既然是同一类，那么这两个数被3除的余数就一定相同。

84、所以，任意4个自然数，至少有2个自然数的差是3的倍数。

85、【例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问不论如何取，从箱中至少取出多少只就能保证有3双袜子（袜子无左、右之分）？【分析与解】试想一下，从箱中取出6只、9只袜子，能配成3双袜子吗？回答是否定的。

86、按5种颜色制作5个抽屉，根据抽屉原理1，只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只，这2只就可配成一双。

87、拿走这一双，尚剩4只，如果再补进2只又成6只，再根据抽屉原理1，又可配成一双拿走。

88、如果再补进2只，又可取得第3双。

89、所以，至少要取6＋2＋2=10只袜子，就一定会配成3双。

90、思考：1.能用抽屉原理2，直接得到结果吗？2.把题中的要求改为3双不同色袜子，至少应取出多少只？3.把题中的要求改为3双同色袜子，又如何？【例4】一个布袋中有35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？【分析与解】从最“不利”的取出情况入手。

91、最不利的情况是首先取出的5个球中，有3个是蓝色球、2个绿色球。

92、接下来，把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过4个，所以，根据抽屉原理2，只要取出的球数多于（4-1）×3=9个，即至少应取出10个球，就可以保证取出的球至少有4个是同一抽屉（同一颜色）里的球。

93、故总共至少应取出10＋5=15个球，才能符合要求。

94、思考：把题中要求改为4个不同色，或者是两两同色，情形又如何？当我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有，至少有几个”这样的问题时，想到它——抽屉原理，这是你的一条“决胜”之路。

95、奥赛专题--还原问题【例1】某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元。

96、这时他的存折上还剩1250元。

97、他原有存款多少元？【分析】从上面那个“重新包装”的事例中，我们应受到启发：要想还原，就得反过来做（倒推）。

98、由“第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一半少100元”是1250元，从而“余下的一半”是1250+100=1350（元）余下的钱（余下一半钱的2倍）是：1350×2=2700（元）用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。

99、综合算式是：[（1250+100）×2+50]×2=5500（元）还原问题的一般特点是：已知对某个数按照一定的顺序施行四则运算的结果，或把一定数量的物品增加或减少的结果，要求最初（运算前或增减变化前）的数量。

100、解还原问题，通常应当按照与运算或增减变化相反的顺序，进行相应的逆运算。

101、【例2】有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶来了。

102、哥哥看弟弟挑得太多，就拿来一半给自己。

103、弟弟觉得自己能行，又从哥哥那里拿来一半。

104、哥哥不让，弟弟只好给哥哥5块，这样哥哥比弟弟多挑2块。

105、问最初弟弟准备挑多少块？【分析】我们得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少块。

106、只要解一个“和差问题”就知道：哥哥挑“（26+2）÷2=14”块，弟弟挑“26-14=12”块。

107、提示：解还原问题所作的相应的“逆运算”是指：加法用减法还原，减法用加法还原，乘法用除法还原，除法用乘法还原，并且原来是加（减）几，还原时应为减（加）几，原来是乘（除）以几，还原时应为除（乘）以几。

108、对于一些比较复杂的还原问题，要学会列表，借助表格倒推，既能理清数量关系，又便于验算。

109、奥赛专题--鸡兔同笼问题例1鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？[分析]：如果46只都是兔，一共应有4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。

110、解：①鸡有多少只？（4×6-128）÷（4-2）=（184-128）÷2=56÷2=28（只）②免有多少只？46-28=18（只）答：鸡有28只，免有18只。

111、例2鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？[分析]：这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。

112、解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。

113、100-20=80（只）。

114、答：鸡与兔分别有80只和20只。

115、例3红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三个班各有多少人？[分析1]我们设想，如果条件中三个班人数同样多，那么，要求每班有多少人就很容易了.由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数同样多来分析求解。

116、结合下图可以想，假设二班、三班人数和一班人数相同，以一班为标准，则二班人数要比实际人数少5人.三班人数要比实际人数多7-5=2（人）.那么，请你算一算，假设二班、三班人数和一班人数同样多，三个班总人数应该是多少？解法1：一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3=44（人）二班：44+5=49（人）三班：49-7=42（人）答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。

117、[分析2]假设一、三班人数和二班人数同样多，那么，一班人数比实际要多5人，而三班要比实际人数多7人.这时的总人数又该是多少？解法2：（135+5+7）÷3=147÷3=49（人）49-5=44（人），49-7=42（人）答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。

118、例4刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？[分析]我们分步来考虑：①假设租的10条船都是大船，那么船上应该坐6×10=60（人）。

119、②假设后的总人数比实际人数多了60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。

120、③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成大船。

121、解：[6×10-(41+1）÷（6-4）=18÷2=9（条）10-9=1（条）答：有9条小船，1条大船。

122、例5有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？[分析]这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿.因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为6×18=108（条），所差118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少20-13＝7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7÷（2-1）=7（只）.解：①假设蜘蛛也是6条腿，三种动物共有多少条腿？6×18=108（条）②有蜘蛛多少只？（118-108）÷（8-6）=5（只）③蜻蜒、蝉共有多少只？18-5=13（只）④假设蜻蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？1×13=13（对）⑤蜻蜒多少只？（20-13）÷2-1）=7（只）答：蜻蜒有7只.。

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